Un número complejo se escribe z=x+iy. x es la parte real, y es la parte imaginaria. ${\displaystyle i=\sqrt{-1}}$ es la unidad imaginaria

Forma polar de un número complejo

${\displaystyle \begin{array}{l}z=x+iy\\ \{\begin{array}{l}x=r·\cos \theta \\ y=r·\sin \theta \end{array}\{\begin{array}{l}r=\sqrt{x^2+y^2}\\ \tan \theta =\frac{y}{x}\end{array}\\ z=r·\cos \theta +ir·\sin \theta =r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }\end{array}}$

>> 3+i*4
ans = 3.0000+4.0000i 
>> complex(1,2)
ans =   1.0000 + 2.0000i
>> z=2*exp(i*pi/6)
z =   1.7321 + 1.0000i 
>> z1=2*cos(pi/6)+i*2*sin(pi/6)
z1 =   1.7321 + 1.0000i

Son idénticos los números complejos

${\displaystyle \begin{array}{l}{z}_1=r\exp \left(i\theta \right)\\ z_2=r\exp \left(i(\theta +2k\pi )\right)k=\mathrm{0,}\pm \mathrm{1,}\pm \mathrm{2,}\pm \mathrm{3...}\end{array}}$

Las funciones MATLAB que se aplican a estos números son:

${\displaystyle \begin{array}{l}z=x+iy\\ \left|z\right|=\sqrt{x^2+y^2}\\ \theta =\{\begin{array}{l}{\tan }^{-1}\left(\frac{y}{x}\right)x>0y>0\\ \pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{y}{\left|x\right|}\right)x<0y>0\\ -\left(\pi -{\tan }^{-1}\left(\frac{\left|y\right|}{\left|x\right|}\right)\right)x<0y<0\\ -{\tan }^{-1}\left(\frac{\left|y\right|}{x}\right)x>0y<0\end{array}\end{array}}$

Expresamos un número complejo en forma polar

>> abs(4+i*3)
ans = 5
>> angle(4+i*3)
ans = 0.6435
>> 5*exp(i*0.6435)
ans =   4.0000 + 3.0000i
>> angle(4-i*3)*180/pi
ans = -36.8699
>> angle(-4-i*3)*180/pi+360
ans = 216.8699

MATLAB expresa los ángulos en el intervalo (-π, π) o bien (-180, 180) Si el ángulo es negativo le sumamos 2π ó 360 para que se exprese en el intervalo (0, 2π), o bien (0,360)

Operaciones con números complejos

Podemos hacer operaciones con números complejos, tales como suma, diferencia, producto, cociente, potencia y raíz

${\displaystyle \begin{array}{l}{z}_1=x_1+i{y}_1=r_1\exp (i{\theta }_1)\\ z_2=x_2+i{y}_2=r_2\exp (i{\theta }_2)\\ z_1+z_2=(x_1+x_2)+i(y_1+y_2)\\ z_1-z_2=(x_1-x_2)+i(y_1-y_2)\\ z_1*z_2=r_1{r}_2\exp i({\theta }_1+{\theta }_2)\\ z_1*z_2=(x_1{x}_2-y_1{y}_2)+i(x_1{y}_2+x_2{y}_1)\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\exp i({\theta }_1-{\theta }_2)\\ \frac{z_1}{z_2}=\frac{(x_1{x}_2+y_1{y}_2)+i(x_2{y}_1-x_1{y}_2)}{x_2^2+y_2^2}\end{array}}$

>> (2+i*5)+(3-i*2)
ans = 5.0000 +  3.0000i
>> (2+i*5)*(3-i*2)
ans = 16.0000 +11.0000i
>>  (2+i*5)/(3-i*2)
ans  = -0.3077 + 1.4615i

Comprobamos el producto de dos números complejos en forma polar

>> z1=2*exp(i*pi/6)
z1 =   1.7321 + 1.0000i
>> z2=3*exp(i*pi/4)
z2 =   2.1213 + 2.1213i
>> z=z1*z2
z =   1.5529 + 5.7956i
>> abs(z)
ans =    6.0000
>> angle(z)
ans =    1.3090
>> pi/6+pi/4
ans =    1.3090

La multiplicación de los números complejos

z₁=r·exp(iθ₁) y z₂=exp(iθ₂)
z=z₁*z₂=r·exp(i(θ₁+ θ₂))

equivale a la rotación de z₁ un ángulo θ₂.

La fórmula de Moivre es una interesante aplicación de la forma polar de un número complejo

${\displaystyle \begin{array}{l}{\left(e^{i\theta }\right)}^n=e^{in\theta }\\ {\left(\cos \theta +i\sin \theta \right)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )\end{array}}$

La potencia n de un número complejo z se calcula por la fórmual de Moivre del siguiente modo

${\displaystyle z^n=r^n\left(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )\right)}$

El producto de números complejos nos conduce a la fórmula del coseno de la suma de dos ángulo y la del seno de la suma de dos ángulo

${\displaystyle \begin{array}{l}{z}_1*z_2=r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)=\\ r_1{r}_2\left((\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2)+i(\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2)\right)\\ z_1*z_2=r_1{r}_2\exp \left(i({\theta }_1+{\theta }_2)\right)=r_1{r}_2\left(\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1+{\theta }_2)\right)\\ \{\begin{array}{l}\cos ({\theta }_1+{\theta }_2)=\cos {\theta }_1\cos {\theta }_2-\sin {\theta }_1\sin {\theta }_2\\ \sin ({\theta }_1+{\theta }_2)=\cos {\theta }_1\sin {\theta }_2+\sin {\theta }_1\cos {\theta }_2\end{array}\end{array}}$

Complejo conjugado

Para cada número complejo z=x+iy=r·exp(iθ), existe un número complejo conjugado

${\displaystyle \begin{array}{l}z=x+iy=r\exp (i\theta )\\ \overline{z}=x-iy=r\exp (-i\theta )\\ z*\overline{z}=(x+iy)*(x-iy)=x^2+y^2\\ z*\overline{z}=r\exp (i\theta )*r\exp (-i\theta )=r^2\end{array}}$

El producto de un número complejo por su correspondiente conjugado nos da el cuadrado del módulo

>> z=3+4*i;
>> abs(z)
ans =     5
>> z1=conj(z)
z1 =   3.0000 - 4.0000i
>> z*z1
ans =    25

Parte real Re(z) e imaginaria Im(z) de un número complejo z=x+iy es devuelto por las funciones real(z) e imag(z)

real(x+iy)=x
imag(x+iy)=y

Otra forma alternativa de calcular la parte real e imaginaria de un número compejo es

${\displaystyle \mathrm{Re}(z)=\frac{z+\overline{z}}{2}\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\overline{z}}{2i}}$

Raíces de un número complejo

La raíz n de un número complejo z es

${\displaystyle \sqrt[k]{z}=\sqrt[n]{r}\exp \left(i\frac{\theta +2\pi k}{n}\right)k=\mathrm{0...}n-1}$

Para calcular la raíz cúbica del número complejo z=3+4i, escribimos

>> z=3+4*i;
>> n=3;
>> k=0:n-1;
>> z1=nthroot(abs(z),n)*exp(i*(angle(z)+2*pi*k)/n)
>> compass(z1)
z1 =   1.6289 + 0.5202i  -1.2650 + 1.1506i  -0.3640 - 1.6708i

El comando compass nos permite representar gráficamente un número complejo o un vector de números complejos en el plano.

Las raíces de la ecuación z⁸=1 son

${\displaystyle \begin{array}{l}{z}_k=\exp \left(i\frac{2\pi k}{8}\right)=\cos \frac{2\pi k}{8}+i\sin \frac{2\pi k}{8},k=\mathrm{0,1,2...7}\\ \pm \mathrm{1,}\pm i,\pm \left(1+i\right)\frac{\sqrt{2}}{2},\pm \left(1-i\right)\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}}$

Las raíces de la ecuación zⁿ=c, se sitúan en un círculo y forman los vértices de un polígono regular de n lados.

Creamos un script para determinar las raíces de un número complejo

z=input('Número complejo: ');
N=input('Raíz: ');
n=0:N-1;
z1=nthroot(abs(z),N)*exp(i*(angle(z)+2*pi*n)/N)
compass(z1)

Propiedades geométricas

Distancia entre dos puntos del plano

${\displaystyle \left|z_1-z_2\right|=\sqrt{{\left(x_1-x_2\right)}^2+{\left(y_1-y_2\right)}^2}}$

Desigualdad entre los lados de un triángulo

${\displaystyle \left|z_1+z_2\right|\le \left|z_1\right|+\left|z_2\right|}$

Comprobar esta desigualdad para z₁=7+i y z₂=3+5i

>> z1=7+i;
>> z2=3+5*i;
>> d=abs(z1-z2)
d =    5.6569
>> s=abs(z1+z2)
s =   11.6619
>> d1=abs(z1)
d1 =    7.0711
>> d2=abs(z2)
d2 =    5.8310
>> s<d1+d2 %es |z1+z2|≤|z1|+|z2|
ans =     1 %verdadero